viernes, 2 de diciembre de 2011

Representación Tridimensional de Objetos


La incorporación preferida de la invención incluye el hardware y el software para los objetos y extraer de la exploración su geometría e información del color para generar sus representaciones (tridimensionales) 3D en una computadora. La representación preferida utiliza una computadora, una cámara de vídeo, una fuente de luz, y un indicador situado dentro del campo visual de la cámara fotográfica en un de posición fija. Preferiblemente, la fuente de luz proyecta una línea quebradiza de la luz en el objeto explorado. El software de la representación preferida procesa los marcos producidos por la cámara fotográfica. Localiza preferiblemente la línea iluminada y el indicador, y utiliza esta información para determinar los coordenadas 3D de los puntos iluminados. Los coordenadas 3D de los puntos se utilizan para construir las representaciones 3D de objetos. La imagen preferida también obtiene la información del color del objeto y de los mapas explorados él a la representación 3D.




Superficies de Polígonos


La superficie de un polígono se especifica con el conjunto de coordenadas de sus vértices, y parámetros para sus atributos asociados.

Los datos se colocan en tablas que se utilizarán en el procesamiento, despliegue y manipulación de objetos en una escena. Las tablas de datos se organizan en: Tablas geométricas que contienen las coordenadas de vértices y los parámetros para identificar la orientación espacial de las superficies del polígono. Tablas de atributos: Parámetros como grado de transparencia, reflectividad y textura. 

En cuanto a las tablas geométricas, una organización conveniente para almacenar los datos es crear 3 listas:
  • Vértices: Donde se almacenan las coordenadas para cada vértice.
  • Aristas: Contiene apuntadores a la tabla de vértices para identificar los vértices de que se compone cada arista.
  • Polígonos: Contiene apuntadores a la tabla de aristas para identificar las aristas de que se compone cada polígono.   
Además, a los objetos individuales y las caras de polígonos que los componen se les puede asignar identificadores de objeto y de faceta para una referencia rápida. Asimismo un representación de un polígono para un poliedro define con precisión las características de superficie del objeto, pero para otros objetos, las superficies se teselan o tejen para producir una aproximación del enlace de polígonos.





Líneas y Superficies Curvas


La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar objetos representar objetos reales. Normalmente no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.

La representación no paramétrica de una curva puede ser implícita y = f(x) o bien explícita, f(x, y) = 0

La forma implícita no puede ser representada con curvas multivaluadas sobre x, mientras que la forma explícita puede requerir utilizar criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más soluciones de las deseadas. 

De igual manera la representación paramétrica tiene la forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2
La derivada o vector tangente es P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T 

El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1. Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo normalmente modifica el comportamiento de la curva.


 



Superficies Cuadráticas


Una superficie cuadrática es la descripción de una ecuación de segundo grado. Entre ellas se incluyen las esferas, los elipsoides, los paraboloides y los hiperboloides. Las superficies cuadráticas, particularmente las esferas y los elipsoides, son elementos comunes en las escenas gráficas, y las subrutinas para generar estas superficies están disponibles a menudo en los paquetes gráficos. También, las superficies cuadráticas se pueden producir con representaciones mediante splines racionales.


  
Las supercuádricas se crean incorporando parámetros adicionales a las ecuaciones de las cuadráticas, para proporcionar una mayor flexibilidad en el ajuste de las formas de los objetos. Se añade un parámetro adicional a las ecuaciones de una curva y se utilizan dos parámetros adicionales en las ecuaciones de las superficies.

Funciones para la generación de superficies cuadráticas de GLU.
Necesitamos asignar un nombre a la cuadrática, activar el sombreador de cuadráticas de GLU y especificar los valores de los parámetros de la superficie. Además, podemos establecer otros parámetros para controlar la apariencia de una superficie cuadrática con GLU.

Por tanto, la esfera se muestra en su modelo alámbrico con un segmento de línea recta entre cada par de vértices de la superficie. Al parámetro r se le asigna un valor de doble precisión para usarlo como radio de la esfera. La esfera se divide en un conjunto de caras poligonales mediante líneas de longitud y de latitud equiespaciadas. Especificamos el número entero de líneas de longitud y de líneas de latitud como valores de los parámetros n Longitudes y n Latitudes.




Representaciones de "spline"


Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, es decir una banda flexible que se utiliza para producir una curva suave que pasa por unos puntos concretos. Así el término curva con spline una función creada por tramos de polinomios cúbicos, cuya primera y segunda derivadas son continuas en las diferentes partes de la curva.

En Computación Gráfica, una spline es comúnmente referida como una curva compuesta de secciones poligonales satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad entre ellas. Una superficie con splines se puede describir con dos conjuntos de curvas ortogonales con splines.
Los splines se utilizan para diseñar formas de curvas y de superficies, para digitalizar dibujos y para especificar trayectorias de animación de objetos o la posición de la cámara en una escena. Estos son utilizables para el diseño de edificios, automóviles o aviones, las formas finales de los objetos se modelaban a tamaño real (o casi real) donde las curvas se representaban usando splines, largas tiras de plástico o metal moldeadas por pesos ubicados en posiciones específicas. Matemáticamente, estas curvas pueden ser descritas por la unión de secciones de poligonales cúbicas cuyas primera y segunda derivadas son continuas entre cada sección de la curva.

Al estar compuesta por varias partes de polinomios cúbicos, la suavidad de una spline puede especificarse imponiendo condiciones de continuidad entre secciones.

Splines de interpolación y de aproximación.
En los problemas de interpolación y de aproximación, se utiliza a menudo para la construcción de superficies de interpolación porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado a la  vez que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones resultan indeseables, que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Una spline es descrita por un conjunto de puntos llamados puntos de control. Cuando la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Cuando lo anterior no es cierto, se dice que la curva aproxima los puntos. Mientras que el primer tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación, el segundo es principalmente usado en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos.

Siendo así que los métodos de interpolación se utilizan habitualmente para digitalizar dibujos o para especificar trayectorias de animación. Los métodos de aproximación se utilizan fundamentalmente como herramientas de diseño para crear formas de objetos.
       



Curvas y Superficies de Bézier


Básicamente, el método consiste en describir las curvas o superficies a estudiar con una función vectorial de unos parámetros, que hacen que un vector se mueva sobre dicha curva al variar el parámetro de forma local. Por lo tanto los splines de Bézier están disponibles con mucha frecuencia en diversos sistemas CAD, en paquetes para gráficos generales y en paquetes heterogéneos de dibujo y pintura.

Ecuaciones de las curvas de Bézier:
En primer lugar consideraremos el caso general con n + 1 puntos de control, indicados como p4 = (xkyyh zk) y donde k varía desde O a n. Estos puntos se combinan para producir el siguiente vector de posición P (w), que describe la trayectoria de una función de aproximación polinómica de Bézier entre p„ y p„. En la mayoría de los casos, una curva de Bézier es un polinomio de un grado menos que el número de puntos de control designados: tres puntos generan una parábola, cuatro puntos una curva cúbica, y así sucesivamente.

Propiedades de las curvas de Bézier:
La curva une el primer punto de control con el último. Por tanto, una característica básica de cualquier curva de Bézier es que,
Los valores de las primeras derivadas paramétricas de una curva de Bézier en los puntos extremos, se pueden calcular a partir de las coordenadas de los puntos de control del siguiente modo:
 
En estas expresiones, vemos que la pendiente en el comienzo de la curva tiene la dirección de la línea que une los dos primeros puntos de control y la pendiente en el extremo final de la curva tiene la dirección de la línea que une los dos últimos puntos extremos.
De forma similar, las segundas derivadas paramétricas de una curva de Bézier en sus puntos extremos se calcula como sigue:

Técnicas de diseño utilizando curvas de Bézier:
Una curva de Bézier cerrada se genera cuando establecemos el último punto de control en la posición del primer punto de control, también, especificando múltiples puntos de control en una única posición proporciona más peso a dicha posición.
La generación de secciones de curvas de Bézier más pequeñas también proporciona un mejor control local sobre la forma de la curva. Ya que las curvas de Bézier tienen la importante propiedad de que la tangente a la curva en un punto extremo tiene la dirección de la línea que une aquel punto extremo con el punto de control adyacente.

Tienen las mismas propiedades que las curvas de Bézier y proporcionan un método conveniente para aplicaciones interactivas de diseño. Para especificar las posiciones de los puntos de control con coordenadas tridimensionales, podríamos en primer lugar construir una cuadrícula rectangular en el plano xy «de tierra»

Una superficie de Bézier compuesta construida con dos secciones de dos secciones de Bézier, unidas por la línea indicada, las líneas discontinuas unen los puntos de control, la continuidad de primer orden se establecen haciendo que la relación entre la longitud y la longitud z.