viernes, 2 de diciembre de 2011

Curvas y Superficies de Bézier


Básicamente, el método consiste en describir las curvas o superficies a estudiar con una función vectorial de unos parámetros, que hacen que un vector se mueva sobre dicha curva al variar el parámetro de forma local. Por lo tanto los splines de Bézier están disponibles con mucha frecuencia en diversos sistemas CAD, en paquetes para gráficos generales y en paquetes heterogéneos de dibujo y pintura.

Ecuaciones de las curvas de Bézier:
En primer lugar consideraremos el caso general con n + 1 puntos de control, indicados como p4 = (xkyyh zk) y donde k varía desde O a n. Estos puntos se combinan para producir el siguiente vector de posición P (w), que describe la trayectoria de una función de aproximación polinómica de Bézier entre p„ y p„. En la mayoría de los casos, una curva de Bézier es un polinomio de un grado menos que el número de puntos de control designados: tres puntos generan una parábola, cuatro puntos una curva cúbica, y así sucesivamente.

Propiedades de las curvas de Bézier:
La curva une el primer punto de control con el último. Por tanto, una característica básica de cualquier curva de Bézier es que,
Los valores de las primeras derivadas paramétricas de una curva de Bézier en los puntos extremos, se pueden calcular a partir de las coordenadas de los puntos de control del siguiente modo:
 
En estas expresiones, vemos que la pendiente en el comienzo de la curva tiene la dirección de la línea que une los dos primeros puntos de control y la pendiente en el extremo final de la curva tiene la dirección de la línea que une los dos últimos puntos extremos.
De forma similar, las segundas derivadas paramétricas de una curva de Bézier en sus puntos extremos se calcula como sigue:

Técnicas de diseño utilizando curvas de Bézier:
Una curva de Bézier cerrada se genera cuando establecemos el último punto de control en la posición del primer punto de control, también, especificando múltiples puntos de control en una única posición proporciona más peso a dicha posición.
La generación de secciones de curvas de Bézier más pequeñas también proporciona un mejor control local sobre la forma de la curva. Ya que las curvas de Bézier tienen la importante propiedad de que la tangente a la curva en un punto extremo tiene la dirección de la línea que une aquel punto extremo con el punto de control adyacente.

Tienen las mismas propiedades que las curvas de Bézier y proporcionan un método conveniente para aplicaciones interactivas de diseño. Para especificar las posiciones de los puntos de control con coordenadas tridimensionales, podríamos en primer lugar construir una cuadrícula rectangular en el plano xy «de tierra»

Una superficie de Bézier compuesta construida con dos secciones de dos secciones de Bézier, unidas por la línea indicada, las líneas discontinuas unen los puntos de control, la continuidad de primer orden se establecen haciendo que la relación entre la longitud y la longitud z.

 


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